В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20. Найдите площадь треугольника.

Обозначим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, а гипотенуза — это $AB$.

Пусть центр полуокружности — точка $O$, лежащая на гипотенузе $AB$. По условию она делит гипотенузу на отрезки:

Значит,

Так как полуокружность вписана в треугольник, она касается обоих катетов. Центр окружности, касающейся двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе прямого угла $C$.

По теореме о биссектрисе:

Подставим известные длины:

Значит, катеты относятся как $3:4$. Пусть

Тогда гипотенуза равна:

Но мы уже знаем, что

Поэтому:

Тогда катеты равны:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Ответ: