В треугольнике ABC: AC = BC, угол C = 120 градусов, AB = 18. Найдите высоту AH.

Ответы на вопрос

Отвечает Ендышев Денис.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как будто решаем её сами.

Дано:

Треугольник $ABC$ , где $AC = BC$ (равнобедренный с основанием $AB$ )
Угол при вершине $C$ равен $120^\circ$
Основание $AB = 18$
Нужно найти высоту $AH$ , проведённую из вершины $C$ на основание $AB$ .

Шаг 1. Используем закон косинусов

В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами $AC = BC = x$ и основанием $AB = 18$ , угол при вершине $C$ равен $120^\circ$ . По закону косинусов:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C

Подставляем данные:

18^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 120^\circ

324 = 2x^2 - 2x^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \quad \text{(так как } \cos 120^\circ = -\frac{1}{2})

324 = 2x^2 + x^2 = 3x^2

x^2 = 108

x = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}

Таким образом, боковые стороны треугольника: $AC = BC = 6\sqrt{3}$ .

Шаг 2. Найдём высоту AH

Высота $AH$ проведена из вершины $C$ на основание $AB$ . Для равнобедренного треугольника, если высота проведена из вершины между равными сторонами на основание, она также делит основание пополам.

AB = 18 \implies \text{AH делит } AB \text{ на отрезки } 9 \text{ и } 9

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ , где $CH$ — высота. Используем теорему Пифагора:

CH^2 + AH^2 = AC^2

Здесь:

AH = 9 \quad (\text{половина основания})

AC = 6\sqrt{3}

Подставляем:

CH^2 + 9^2 = (6\sqrt{3})^2

CH^2 + 81 = 108

CH^2 = 27

CH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

✅ Ответ

Высота $AH = CH = 3\sqrt{3}$ .

Так что правильный результат:

\boxed{3\sqrt{3}}

В треугольнике ABC: AC = BC, угол C = 120 градусов, AB = 18. Найдите высоту AH.

Ответы на вопрос

Шаг 1. Используем закон косинусов

Шаг 2. Найдём высоту AH

✅ Ответ

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика