Найдите точки перегиба следующих кривых
1)y=1/3*x^3-3x^2+8x-4
2)f (x)= x^4-10x^3+36x^2-100
3) f (x)= x^4-8x^3+18x^2-48x+31

Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо выполнить несколько шагов. Точка перегиба функции — это такая точка на графике, где кривая меняет направление изгиба, то есть где вторая производная функции меняет знак. Процесс поиска точек перегиба включает нахождение второй производной функции и исследование ее знака.

1. $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x - 4$

1. Найдем первую производную $y'$:

   $$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x - 4 \right) = x^2 - 6x + 8$$

2. Найдем вторую производную $y''$:

   $$y'' = \frac{d}{dx} \left( x^2 - 6x + 8 \right) = 2x - 6$$

3. Приравняем вторую производную к нулю для нахождения потенциальных точек перегиба:

   $$2x - 6 = 0$$ $$x = 3$$

4. Подставим значение $x = 3$ в исходную функцию, чтобы найти $y$-координату точки:

   $$y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 4 = 1 - 27 + 24 - 4 = -6$$

   Следовательно, точка перегиба: $(3, -6)$.

2. $f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 - 100$

1. Найдем первую производную $f'(x)$:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^4 - 10x^3 + 36x^2 - 100 \right) = 4x^3 - 30x^2 + 72x$$

2. Найдем вторую производную $f''(x)$:

   $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x^3 - 30x^2 + 72x \right) = 12x^2 - 60x + 72$$

3. Приравняем вторую производную к нулю:

   $$12x^2 - 60x + 72 = 0$$

   Разделим на 12:

   $$x^2 - 5x + 6 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$(x - 2)(x - 3) = 0$$ $$x = 2 \quad \text{и} \quad x = 3$$

4. Подставим $x = 2$ и $x = 3$ в исходную функцию для нахождения $y$-координат:

   $$f(2) = 2^4 - 10 \cdot 2^3 + 36 \cdot 2^2 - 100 = 16 - 80 + 144 - 100 = -20$$ $$f(3) = 3^4 - 10 \cdot 3^3 + 36 \cdot 3^2 - 100 = 81 - 270 + 324 - 100 = 35$$

   Таким образом, точки перегиба: $(2, -20)$ и $(3, 35)$.

3. $f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 48x + 31$