Учительница спросила троих учеников, сколько, по их мнению, ей лет. Первый ответил, что 22 года, второй — что 25, а третий — что ей 30 лет. Оказалось, что кто‑то из них ошибся на 2 года, кто‑то на 3, а кто‑то — на 5 лет. Сколько лет учительнице? Найдите все возможные ответы.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим возраст учительницы как $x$. Трое учеников дали свои предположения о ее возрасте:

1. Первый ученик: 22 года
2. Второй ученик: 25 лет
3. Третий ученик: 30 лет

Согласно условию, один из учеников ошибся на 2 года, другой на 3 года, а третий — на 5 лет. Это значит, что абсолютные значения разностей между предполагаемым возрастом и реальным возрастом учительницы составляют 2, 3 и 5.

Теперь можем записать три уравнения на основе предположений:

1. Если $x$ — это настоящий возраст учительницы, то для первого ученика:
   • $|x - 22| = 2$ или $|x - 22| = 3$ или $|x - 22| = 5$
2. Для второго ученика:
   • $|x - 25| = 2$ или $|x - 25| = 3$ или $|x - 25| = 5$
3. Для третьего ученика:
   • $|x - 30| = 2$ или $|x - 30| = 3$ или $|x - 30| = 5$

Теперь давайте рассмотрим все возможные значения $x$, исходя из каждого из учеников.

1. Первый ученик (22 года):

• Если $|x - 22| = 2$, то $x = 20$ или $x = 24$.
• Если $|x - 22| = 3$, то $x = 19$ или $x = 25$.
• Если $|x - 22| = 5$, то $x = 17$ или $x = 27$.

2. Второй ученик (25 лет):

• Если $|x - 25| = 2$, то $x = 23$ или $x = 27$.
• Если $|x - 25| = 3$, то $x = 22$ или $x = 28$.
• Если $|x - 25| = 5$, то $x = 20$ или $x = 30$.

3. Третий ученик (30 лет):

• Если $|x - 30| = 2$, то $x = 28$ или $x = 32$.
• Если $|x - 30| = 3$, то $x = 27$ или $x = 33$.
• Если $|x - 30| = 5$, то $x = 25$ или $x = 35$.

Теперь, чтобы найти все возможные значения $x$, давайте объединим все найденные варианты:

• От первого ученика: 17, 19, 20, 24, 25, 27
• От второго ученика: 20, 22, 23, 27, 28, 30
• От третьего ученика: 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35

Теперь мы видим, что:

• Общие возможные значения $x$: 17, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35.

Для того чтобы понять, какое из этих значений является правильным, нужно проверить каждое из них, чтобы соответствовать условию, что один ученик ошибся на 2 года, другой на 3 года, а третий на 5 лет.

Проверяем возможные значения:

1. x = 25:

   • 22 (ошибка 3)
   • 25 (ошибка 0, не подходит)
   • 30 (ошибка 5)
   • Не подходит.

2. x = 27:

   • 22 (ошибка 5)
   • 25 (ошибка 2)
   • 30 (ошибка 3)
   • Подходит.

3. x = 22:

   • 22 (ошибка 0, не подходит)
   • Не подходит.

4. x = 30:

   • 22 (ошибка 8, не подходит)
   • Не подходит.

5. x = 24:

   • 22 (ошибка 2)
   • 25 (ошибка 1, не подходит)
   • Не подходит.

6. x = 28:

   • 22 (ошибка 6, не подходит)
   • Не подходит.

Таким образом, единственное значение, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 27 лет.

Это означает, что учительнице 27 лет.