15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Давай разберём задачу внимательно и пошагово. У нас есть кредит с необычными условиями начисления процентов и графиком выплат. Попробуем вывести формулу и посчитать.

Дано:

• Кредит берётся 15 января на 5 месяцев.

• Процентная ставка: 1% в месяц, начисляется 1-го числа каждого месяца на оставшийся долг.

• Выплаты частично происходят со 2-го по 14-е число месяца, а 15-го числа долг должен уменьшаться на одинаковую сумму каждый месяц.

• Нужно найти общую сумму выплат в процентах от первоначальной суммы кредита.

Обозначим:

• $S_0$ — сумма кредита.

• $x$ — величина уменьшения долга на 15-е число каждого месяца.

• $r = 1\% = 0.01$ — месячная ставка.

Шаг 1: Определяем структуру долга

Обозначим долг на 15-е число каждого месяца как:

Где:

• $D_0 = S_0$ — долг на 15 января (день кредита).

• $D_1 = D_0 - x$ — долг 15 февраля.

• $D_2 = D_1 - x = D_0 - 2x$ — долг 15 марта.

• … и так далее.

• Последний долг после 5 месяцев: $D_5 = D_0 - 5x = 0$, так как кредит полностью погашен.

Отсюда сразу получаем:

То есть каждые 15-го числа долг уменьшается на 20% от исходного кредита.

Шаг 2: Учёт процентов

Проценты начисляются 1-го числа месяца на остаток долга на конец предыдущего месяца. Так как долг уменьшается фиксированными частями каждый месяц, можно смоделировать начисление процентов.

• Начало месяца 1 (1 февраля): долг = $D_0 = S_0$, проценты = $0.01 \cdot S_0 = 0.01S_0$

• Начало месяца 2 (1 марта): долг = $D_1 = 0.8S_0$, проценты = $0.01 \cdot 0.8S_0 = 0.008S_0$

• Начало месяца 3 (1 апреля): долг = $D_2 = 0.6S_0$, проценты = $0.01 \cdot 0.6S_0 = 0.006S_0$

• Начало месяца 4 (1 мая): долг = $D_3 = 0.4S_0$, проценты = $0.01 \cdot 0.4S_0 = 0.004S_0$

• Начало месяца 5 (1 июня): долг = $D_4 = 0.2S_0$, проценты = $0.01 \cdot 0.2S_0 = 0.002S_0$

• Начало месяца 6 (1 июля): долг = $D_5 = 0$, проценты = 0

Теперь суммируем все начисленные проценты:

То есть проценты составят 3% от суммы кредита за весь срок.

Шаг 3: Сумма основной задолженности

Основной долг погашается полностью и равномерно:

Сумма платежей по основному долгу = 100% кредита.

Шаг 4: Общая сумма выплат

Общая сумма выплат = сумма основного долга + сумма процентов:

✅ Шаг 5: Ответ

Общая сумма выплат составляет 103% от суммы кредита.

То есть за 5 месяцев вы платите только 3% сверху от суммы кредита в виде процентов. Это логично, учитывая маленькую процентную ставку и равномерное погашение долга.

Ответ: