Можно ли из 5 повторений эксперимента, при котором из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают, получить синий шар ровно 3 раза? В ящике находятся 7 красных, 5 синих, 3 желтых и 4 розовых шара. Какое количество элементарных событий будет благоприятствовать тому, что синий шар появится ровно 3 раза

Для того чтобы найти количество элементарных событий, благоприятствующих тому, что синий шар появится ровно 3 раза из 5 повторений опыта, необходимо разобрать ситуацию поэтапно.

1. Общее количество шаров в ящике

В ящике всего 7 красных, 5 синих, 3 желтых и 4 розовых шара. Посчитаем общее количество шаров:

$7 + 5 + 3 + 4 = 19$

2. Вероятность выпадения синего шара

Поскольку в ящике 5 синих шаров, а общее количество шаров — 19, то вероятность того, что при одном извлечении будет выбран синий шар, равна:

$P(\text{синий}) = \frac{5}{19}$

Вероятность того, что при одном извлечении будет выбран не синий шар (красный, желтый или розовый), равна:

$P(\text{не синий}) = 1 - P(\text{синий}) = 1 - \frac{5}{19} = \frac{14}{19}$

3. Распределение количества синих шаров в 5 извлечениях

Нам нужно найти количество элементарных событий, при которых синий шар появится ровно 3 раза из 5. Это классическая задача на биномиальное распределение.

Для этого используем формулу для биномиального коэффициента:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество испытаний (в данном случае 5), а $k$ — количество успехов (в данном случае 3).

Число способов, которыми могут быть распределены 3 появления синего шара в 5 извлечениях, равно:

$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

4. Вероятность события

Теперь вычислим вероятность того, что синий шар появится ровно 3 раза. Для этого нужно учесть вероятность выпадения синего шара в 3 испытаниях и вероятности выпадения не синего шара в оставшихся 2 испытаниях:

$P(\text{ровно 3 синих шара}) = C(5, 3) \times P(\text{синий})^3 \times P(\text{не синий})^2$

Подставим значения:

$P(\text{ровно 3 синих шара}) = 10 \times \left( \frac{5}{19} \right)^3 \times \left( \frac{14}{19} \right)^2$

5. Ответ

Ответ на задачу — это число элементарных событий, благоприятствующих появлению синего шара ровно 3 раза. Мы уже нашли, что таких событий 10, так как $C(5, 3) = 10$.

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих тому, что синий шар появится ровно 3 раза из 5 извлечений, равно 10.