Дан квадрат. Из него надо вычесть квадрат, площадь которого равна площади оставшейся части. Как это сделать?

Чтобы решить задачу «из квадрата вычесть квадрат так, чтобы площадь оставшейся части была равна площади вычтенного квадрата», можно действовать следующим образом:

1. Обозначим переменные.
   Пусть исходный квадрат имеет сторону $a$. Его площадь:

   $$S_\text{исходного} = a^2$$

   Пусть квадрат, который нужно вырезать, имеет сторону $b$. Тогда его площадь:

   $$S_\text{вырезанного} = b^2$$

   Площадь оставшейся части:

   $$S_\text{оставшейся} = a^2 - b^2$$

2. Составим условие задачи.
   Нам нужно, чтобы площадь вырезанного квадрата была равна площади оставшейся части:

   $$b^2 = a^2 - b^2$$

3. Решим уравнение.
   Складываем $b^2$ с обеих сторон:

   $$b^2 + b^2 = a^2$$ $$2b^2 = a^2$$ $$b^2 = \frac{a^2}{2}$$

   Следовательно, сторона вырезаемого квадрата:

   $$b = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

4. Как это сделать на практике.

   • Нарисуйте исходный квадрат со стороной $a$.

   • Отметьте квадрат меньшего размера $b = a/\sqrt{2}$ внутри исходного квадрата.

   • Квадрат можно вырезать так, чтобы его угол совпадал с углом исходного квадрата (в этом случае получится классическое расположение «малый квадрат внутри большого») или разместить произвольно внутри, если только важно равенство площадей.

Итак, ключ: сторона вырезаемого квадрата должна быть в $\sqrt{2}$ меньше стороны исходного квадрата. Тогда площадь вырезанного квадрата и площадь оставшейся части будут одинаковы.

Если хочется наглядности, можно мысленно представить квадрат, вырезанный так, чтобы его диагональ совпадала с длиной стороны исходного квадрата — это тоже соответствует формуле $b = a/\sqrt{2}$.