В классе 13 мальчиков и 12 девочек. Сколько есть способов выбрать из них группу из 7 человек, в которой: а) 3 мальчика
б) 5 мальчиков​

Для решения задачи воспользуемся комбинаторикой, а именно формулой для сочетаний.

Исходные данные:

В классе есть:

• 13 мальчиков
• 12 девочек

Нужно выбрать группу из 7 человек с определённым количеством мальчиков и девочек. Для этого используем формулу сочетаний:

где:

• $n$ — общее число элементов (например, количество мальчиков или девочек),
• $k$ — количество выбираемых элементов.

Подход к задаче:

В зависимости от количества мальчиков в группе (3 или 5), сначала определим, сколько именно комбинаций мальчиков и девочек мы можем выбрать, затем перемножим эти количества, чтобы получить общее число возможных вариантов.

Задача а) Выбрать 3 мальчиков и 4 девочек

1. Выбор 3 мальчиков из 13:

   $$C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13 - 3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$$

2. Выбор 4 девочек из 12:

   $$C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12 - 4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$$

Теперь перемножим эти значения, чтобы получить общее количество способов:

Ответ для пункта а: существует 141570 способов выбрать группу из 7 человек, где 3 мальчика и 4 девочки.

Задача б) Выбрать 5 мальчиков и 2 девочек

1. Выбор 5 мальчиков из 13:

   $$C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13 - 5)!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287$$

2. Выбор 2 девочек из 12:

   $$C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12 - 2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$

Перемножим результаты для общего количества способов:

Ответ для пункта б: существует 84942 способа выбрать группу из 7 человек, где 5 мальчиков и 2 девочки.

Ответ:

• В случае а) (3 мальчика и 4 девочки) — 141570 способов.
• В случае б) (5 мальчиков и 2 девочки) — 84942 способа.