Длина образующей конуса равна диаметру основания. Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса.

Пусть радиус основания конуса \( r \), тогда диаметр основания \( 2r \). По условию образующая \( l = 2r \).

Площадь полной поверхности конуса: \( S_{\text{кон}} = \pi r (l + r) = \pi r (2r + r) = 3\pi r^2 \).

Высоту конуса \( h \) найдём по теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + r^2 \). Подставляем \( l = 2r \): \( (2r)^2 = h^2 + r^2 \), откуда \( h^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2 \), значит \( h = r\sqrt{3} \).

Диаметр сферы равен высоте конуса, поэтому радиус сферы \( R = \frac{h}{2} = \frac{r\sqrt{3}}{2} \). Площадь поверхности сферы: \( S_{\text{сф}} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{3r^2}{4} = 3\pi r^2 \).

Получили \( S_{\text{кон}} = S_{\text{сф}} \), что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться