Кар­тин­ка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 23 см и 41 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ши­ри­ны. Пло­щадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окан­тов­кой, равна 2035 см2. Ка­ко­ва ши­ри­на окан­тов­ки? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах

Чтобы найти ширину окантовки, можно решить задачу с использованием уравнения. Обозначим ширину окантовки как $x$ (в сантиметрах).

Шаги решения:

1. Определение размеров прямоугольника с окантовкой.

   Картинка имеет размеры 23 см на 41 см. После добавления окантовки одинаковой ширины $x$ с каждой стороны, новые размеры прямоугольника с окантовкой будут:

   • Ширина: $23 + 2x$
   • Длина: $41 + 2x$

2. Запись уравнения для площади.

   Площадь прямоугольника с окантовкой известна и равна 2035 см². Выразим площадь с помощью уравнения:

   $$(23 + 2x)(41 + 2x) = 2035$$

3. Раскрытие скобок и упрощение уравнения.

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   $$23 \cdot 41 + 2x \cdot 41 + 2x \cdot 23 + 4x^2 = 2035$$

   Подсчитаем произведение чисел:

   $$943 + 82x + 46x + 4x^2 = 2035$$ $$4x^2 + 128x + 943 = 2035$$

4. Приведение уравнения к стандартному виду.

   Переносим 2035 в левую часть уравнения:

   $$4x^2 + 128x + 943 - 2035 = 0$$ $$4x^2 + 128x - 1092 = 0$$

   Теперь у нас квадратное уравнение:

   $$4x^2 + 128x - 1092 = 0$$

5. Решение квадратного уравнения.

   Разделим уравнение на 4 для удобства:

   $$x^2 + 32x - 273 = 0$$

   Это квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 32$, $c = -273$.

   Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Подставим значения:

   $$x = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-273)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 + 1092}}{2}$$ $$x = \frac{-32 \pm \sqrt{2116}}{2}$$ $$x = \frac{-32 \pm 46}{2}$$

   Находим два значения для $x$:

   1. $x = \frac{-32 + 46}{2} = \frac{14}{2} = 7$
   2. $x = \frac{-32 - 46}{2} = \frac{-78}{2} = -39$ (не подходит, так как ширина не может быть отрицательной).

   Таким образом, ширина окантовки равна $x = 7$ см.

Ответ:

Ширина окантовки составляет 7 см.