В некоторой стране всего 33 города и каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее количество жорошо можно закрыть на ремонт чтобы из каждого города можно было добраться до каждого другого.

В стране с 33 городами, каждый из которых соединён дорогой с каждым другим, всего существует $C(33, 2) = \frac{33 \times 32}{2} = 528$ дорог.

Задача заключается в том, чтобы найти максимальное количество дорог, которые можно закрыть на ремонт, не нарушая возможность добраться из любого города до любого другого.

Рассуждение

Когда все города связаны между собой дорогами, у нас есть полный граф (каждая вершина соединена с каждой другой). Чтобы сохранить возможность достижения любого города из любого другого, граф должен оставаться связным — то есть, между любой парой городов должна существовать хотя бы одна цепь дорог, которая их соединяет.

Максимальное количество дорог, которые можно закрыть, определяется числом рёбер, после удаления которых граф останется связным. Этот показатель связан с понятием минимального остовного дерева (MST). Минимальное остовное дерево соединяет все вершины графа с минимальным числом рёбер, сохраняя связность. В графе с $n$ вершинами минимальное остовное дерево содержит $n - 1$ рёбер.

Решение

1. Для 33 городов минимальное остовное дерево будет содержать $33 - 1 = 32$ дороги. Эти 32 дороги обеспечат связность между всеми городами, даже если остальные дороги будут закрыты.

2. Следовательно, можно закрыть наибольшее количество дорог, равное общему числу дорог (528) минус количество дорог в минимальном остовном дереве (32):

   $$528 - 32 = 496$$

Ответ

Максимальное количество дорог, которые можно закрыть на ремонт, сохраняя возможность добраться между любыми двумя городами, составляет 496 дорог.