В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точку окружности верхнего основания соединили с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведёнными в эти точки, равен 60°. Найдите угол x между проведённой прямой и осью цилиндра (рис. 1).

Пусть радиус основания цилиндра \( R \), тогда высота \( h = 2R \).

Выберем систему координат: ось цилиндра — ось \( z \). Центр верхнего основания \( O_1(0;0;2R) \), нижнего \( O_2(0;0;0) \).

Точки на окружностях: \( A(R\cos\theta_1; R\sin\theta_1; 2R) \) и \( B(R\cos\theta_2; R\sin\theta_2; 0) \). Угол между радиусами \( O_1A \) и \( O_2B \) равен \( 60^\circ \), значит \( |\theta_1 - \theta_2| = 60^\circ \). Для удобства возьмём \( \theta_1 = 0 \), \( \theta_2 = 60^\circ \). Тогда \( A(R;0;2R) \), \( B\left(\frac{R}{2}; \frac{R\sqrt{3}}{2}; 0\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{R}{2}; \frac{R\sqrt{3}}{2}; -2R\right) \). Ось цилиндра направлена вдоль вектора \( \vec{k} = (0;0;1) \).

Косинус угла \( x \) между прямой \( AB \) и осью: \( \cos x = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{2R}{\sqrt{\left(-\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-2R)^2}} = \frac{2R}{R\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Отсюда \( x = \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \arctan\frac{1}{2} \).

0 0 Пожаловаться