Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. a = 5p - q, b = p + q, |p| = 5, |q| = 3, (p^q) = 5π/6

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \( S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \).

Вычислим векторное произведение:
\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (5\mathbf{p} - \mathbf{q}) \times (\mathbf{p} + \mathbf{q}) = 5\mathbf{p}\times\mathbf{p} + 5\mathbf{p}\times\mathbf{q} - \mathbf{q}\times\mathbf{p} - \mathbf{q}\times\mathbf{q} \).
Так как \( \mathbf{p}\times\mathbf{p}=0 \) и \( \mathbf{q}\times\mathbf{q}=0 \), а \( \mathbf{q}\times\mathbf{p} = - \mathbf{p}\times\mathbf{q} \), получаем:
\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 5\mathbf{p}\times\mathbf{q} - (-\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = 6\,\mathbf{p}\times\mathbf{q} \).

Модуль векторного произведения \( \mathbf{p}\times\mathbf{q} \):
\( |\mathbf{p}\times\mathbf{q}| = |\mathbf{p}|\,|\mathbf{q}|\,\sin\angle(\mathbf{p},\mathbf{q}) = 5 \cdot 3 \cdot \sin\frac{5\pi}{6} = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \).

Тогда площадь:
\( S = 6 \cdot 7.5 = 45 \).

Ответ: 45.

0 0 Пожаловаться