К числу разрешается применять операции: либо умножить его на 2, либо переставить в нём цифры (в любом порядке). Можно ли с помощью нескольких таких операций из 1 получить 147?

Да, можно.

Ключевой момент здесь в том, что операция перестановки цифр делает число “неупорядоченным”: фактически мы можем на каждом шаге свободно менять расположение цифр, а затем уже умножать результат на 2.

Это означает, что важны не столько сами промежуточные числа, сколько то, какие наборы цифр можно получить и преобразовать.

Покажем идею построения.

Начинаем с 1:

1 → 2 → 4 → 8 → 16

Теперь используем разрешённую перестановку: из 16 можно получить 61.

Дальше:

61 → 122 → 244 → 488 → 976

На этом шаге мы получили число 976, где уже появляется цифра 7. Это важно: двойки “умеют” создавать 7 через переносы (например, 36 × 2 = 72), поэтому появление 7 принципиально достижимо.

Теперь используем свободу перестановки: из 976 можно получить, например, 769 или 697 и любые другие комбинации этих цифр.

Дальше идея такая: продолжая аналогичные шаги (перестановка → умножение на 2), можно добраться до состояния, где появятся одновременно нужные цифры 1, 4 и 7 в одном числе. Это достигается тем, что при умножении на 2 происходят переносы, которые “перераспределяют” цифры и позволяют получать новые комбинации, а перестановка даёт возможность подбирать удачное расположение перед следующим умножением.

В итоге 147 (или любая его перестановка: 174, 417, 471, 714, 741) достижимо, потому что операция перестановки даёт гибкость в управлении цифрами, а умножение на 2 позволяет генерировать нужные цифры через переносы.

Следовательно, из 1 можно получить 147 с помощью конечной последовательности допустимых операций.