В 10 утра из города А в город Б отплыл плот. В половине десятого утра из города Б в город А отправилась моторная лодка. Потратив полчаса на забор почты в почтовом отделении города А, лодка двинулась в обратный путь. Найдите отношение V(л)/V(п), если известно, что в город Б лодка прибыла одновременно с плотом.

Обозначим расстояние между городами \(S\), скорость плота \(V_п\) (она же скорость течения), скорость лодки в стоячей воде \(V_л\).

Плот отплыл в 10:00 и двигался со скоростью \(V_п\) из А в Б. Лодка вышла из Б в А в 9:30, прошла против течения расстояние \(S\) за время \(t_1 = \frac{S}{V_л - V_п}\). Затем в городе А она потратила 0,5 ч на почту и отправилась обратно в Б по течению, затратив \(t_2 = \frac{S}{V_л + V_п}\).

Лодка прибыла в Б одновременно с плотом. Если плот прибыл в момент \(T\), то \(T - 10 = \frac{S}{V_п}\). Для лодки: \(T - 9{,}5 = t_1 + 0{,}5 + t_2\). Подставляем \(T = 10 + \frac{S}{V_п}\) и получаем:

\[0{,}5 + \frac{S}{V_п} = \frac{S}{V_л - V_п} + 0{,}5 + \frac{S}{V_л + V_п}\]

Сокращаем \(0{,}5\) и \(S\) (при \(S>0\)):

\[\frac{1}{V_п} = \frac{1}{V_л - V_п} + \frac{1}{V_л + V_п}\]

Пусть \(x = \frac{V_л}{V_п}\), тогда \(V_л = x V_п\). Подставляем:

\[\frac{1}{V_п} = \frac{1}{x V_п - V_п} + \frac{1}{x V_п + V_п} = \frac{1}{V_п}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}\right)\]

Сокращаем \(\frac{1}{V_п}\) и решаем уравнение:

\[1 = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x+1) = (x+1)+(x-1)\]\[x^2 - 1 = 2x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 1 = 0\]\[x = 1 \pm \sqrt{2}\]

Отношение скоростей положительно, поэтому \(x = 1 + \sqrt{2}\).

Ответ: \(\frac{V_л}{V_п} = 1 + \sqrt{2}\).

Отправить ответ