Как решать двойные неравенства?

Двойное неравенство — это запись вида \( a < f(x) < b \) или \( a \le f(x) \le b \). Решить его — значит найти все значения \( x \), при которых неравенство верно.

Способ 1: сведение к системе. Неравенство \( a < f(x) < b \) равносильно системе: \( \begin{cases} f(x) > a \\ f(x) < b \end{cases} \). Решаем каждое неравенство отдельно, затем находим пересечение решений.

Способ 2: одновременное преобразование. Если выражение \( f(x) \) линейное, можно выполнять одинаковые действия со всеми частями неравенства: прибавлять или вычитать число, умножать или делить на положительное число. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются.

Пример: решим \( 3 < 2x + 1 < 7 \).

Вычтем 1 из всех частей: \( 3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 7 - 1 \) ⇒ \( 2 < 2x < 6 \).

Разделим на 2: \( 1 < x < 3 \).

Ответ: \( x \in (1; 3) \).

0 0 Пожаловаться