У одного философа спросили, сколько докладов он прослушал на конференции. Он ответил, что это количество делится на 7, а при делении на 2, 3, 4, 5, 6, дает остаток 1. Какое наименьшее число докладов он мог прослушать?

Чтобы найти наименьшее число докладов, которое философ мог прослушать, рассмотрим условия задачи:

1. Число докладов $N$ делится на 7.
2. При делении на 2, 3, 4, 5 и 6 оно оставляет остаток 1.

Таким образом, мы ищем наименьшее число $N$, которое:

• делится на 7,
• при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт остаток 1.

Шаг 1: Запись уравнений по условиям задачи

Для каждого числа 2, 3, 4, 5 и 6 мы можем записать следующее уравнение:

Это означает, что $N - 1$ делится на 2, 3, 4, 5 и 6. Поскольку 2, 3, 4, 5 и 6 — это множители числа 60 (их наименьшее общее кратное), то $N - 1$ должно делиться на 60.

Таким образом, $N = 60k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Шаг 2: Учёт условия делимости на 7

Теперь, зная, что $N = 60k + 1$, добавим условие делимости на 7:

Или:

Упростим это выражение, заменив 60 на эквивалентное ему число по модулю 7:

Подставим это значение:

Теперь найдём $k$, удовлетворяющее этому уравнению. Чтобы избавиться от отрицательного числа, запишем $-1$ как $6$ (так как $-1 \equiv 6 \pmod{7}$):

Теперь найдём такое $k$, при котором это верно. Подбором получаем, что при $k = 4$ выполняется:

Шаг 3: Подстановка значения $k$

Теперь подставим $k = 4$ в формулу $N = 60k + 1$:

Ответ

Наименьшее число докладов, которое философ мог прослушать, — 241.