2) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(0,0,1) В(2,3,5) С(6,2,3) D(3,7,2).

Для того чтобы найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(0,0,1), B(2,3,5), C(6,2,3) и D(3,7,2), нужно использовать формулу для объема пирамиды с треугольной основой. Объем пирамиды можно вычислить через векторное произведение, если известны координаты вершин.

Объем пирамиды с вершинами A, B, C, D можно вычислить по формуле:

Здесь:

• $\vec{AD}$ — вектор, направленный от точки A к точке D,
• $\vec{AB}$ — вектор от точки A к точке B,
• $\vec{AC}$ — вектор от точки A к точке C,
• $\times$ — векторное произведение двух векторов,
• $\cdot$ — скалярное произведение.

Шаг 1: Найдем векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$

Координаты точек:

• A(0,0,1)
• B(2,3,5)
• C(6,2,3)
• D(3,7,2)

Векторы:

• $\vec{AB} = B - A = (2-0, 3-0, 5-1) = (2, 3, 4)$
• $\vec{AC} = C - A = (6-0, 2-0, 3-1) = (6, 2, 2)$
• $\vec{AD} = D - A = (3-0, 7-0, 2-1) = (3, 7, 1)$

Шаг 2: Найдем векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$

Для векторного произведения двух векторов в трехмерном пространстве используется следующая формула:

Решая детерминант: