Все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 45 град. Определить двугранные углы при её боковых ребрах

Для решения задачи, где все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 45 градусов, необходимо определить двугранные углы при боковых ребрах пирамиды. Давайте разберём это шаг за шагом.

1. Условие задачи и анализ

У нас есть треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Известно, что все плоские углы при вершине $S$ равны 45 градусов. Это означает, что угол между каждой парой боковых граней, например, $\angle ASB$, $\angle BSC$, и $\angle CSA$, равен 45 градусам.

2. Определение плоских и двугранных углов

• Плоские углы при вершине пирамиды — это углы, образованные двумя ребрами, выходящими из вершины $S$. В данном случае это $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 45^\circ$.
• Двугранный угол между двумя плоскостями — это угол между двумя боковыми гранями пирамиды, который измеряется вдоль общего ребра. В нашем случае, это угол между плоскостями, образованными, например, треугольниками $SAB$ и $SBC$, и рассматривается вдоль ребра $SB$.

3. Определение двугранных углов через плоские углы

Для определения двугранного угла $\alpha$ при ребре $SB$, мы воспользуемся свойствами пирамиды и соотношением между плоскими и двугранными углами.

Рассмотрим треугольник $\triangle ASB$, где $\angle ASB = 45^\circ$. Поскольку $\angle ASB$ — это угол между прямыми $SA$ и $SB$, нам нужно найти угол между плоскостями, в которых лежат эти прямые. Чтобы выразить двугранный угол через известный плоский угол, используем следующую формулу:

где:

• $\varphi$ — плоский угол при вершине $S$ между ребрами $SA$ и $SB$ (в нашем случае $\varphi = 45^\circ$),
• $\theta_1$ и $\theta_2$ — углы между боковыми ребрами и высотой $SO$, проведенной из вершины $S$ на основание $ABC$,
• $\alpha$ — искомый двугранный угол.

Так как в задаче сказано, что все плоские углы равны $45^\circ$, для упрощения расчёта можно предположить, что боковые ребра пирамиды равны между собой, что делает её правильной треугольной пирамидой. В таком случае высота $SO$ делит каждый угол на равные части.

4. Расчёт двугранного угла для правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде с углами $\theta_1 = \theta_2$, высота делит каждый плоский угол пополам, и можно упростить выражение:

где $\varphi = 45^\circ$. Тогда:

Таким образом, двугранные углы при всех боковых ребрах пирамиды также равны 45 градусам.

Итог:

Все двугранные углы при боковых ребрах треугольной пирамиды, в которой все плоские углы при вершине равны 45 градусам, также равны $45^\circ$.