Боковая сторона равнобедренной трапеции в три раза длиннее меньшего основания. Биссектрисы тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежащей на основании. Найдите отношение площади трапеции к площади треугольника, образованного меньшим основанием и биссектрисами.

Обозначим меньшее основание трапеции через \(a\). Тогда боковая сторона равна \(3a\).

Пусть большее основание равно \(L\), а половина разности оснований равна \(d\):

\[d=\frac{L-a}{2}\]

Рассмотрим биссектрису тупого угла при меньшем основании. В равнобедренной трапеции две такие биссектрисы симметричны, поэтому их точка пересечения лежит на оси симметрии. По условию она лежит на основании, то есть на большем основании.

Для биссектрисы получается условие:

\[a=2(3a-d)\]

Отсюда:

\[a=6a-2d\]

\[2d=5a\]

\[d=\frac{5a}{2}\]

Тогда:

\[L-a=2d=5a\]

\[L=6a\]

Треугольник, образованный меньшим основанием и биссектрисами, имеет ту же высоту, что и трапеция, потому что его вершина лежит на большем основании.

Площадь трапеции:

\[S_{тр}=\frac{L+a}{2}\cdot h\]

Площадь треугольника:

\[S_{треуг}=\frac{a}{2}\cdot h\]

Их отношение:

\[\frac{S_{тр}}{S_{треуг}}=\frac{\frac{L+a}{2}h}{\frac{a}{2}h}=\frac{L+a}{a}\]

Так как \(L=6a\), получаем:

\[\frac{S_{тр}}{S_{треуг}}=\frac{6a+a}{a}=7\]

Ответ: \(7\).

0 0 Пожаловаться