В коробку положили несколько наборов пуговиц ( не более 10) , по 10 штук в каждом. Если эти пуговицы пришивать на рубашки для мужчин, по 9 штук на каждую , то некоторое количество пуговиц останется, а если на детские рубашки , по 6 штук на каждую, то пуговиц останется на 3 больше . Сколько пуговиц положили в коробку

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим количество наборов пуговиц, которые положили в коробку, за $n$. Так как в каждом наборе 10 пуговиц, то общее количество пуговиц в коробке будет равно $10n$.

Давайте рассмотрим два случая:

1. Если пуговицы пришивают на мужские рубашки, по 9 штук на каждую, то некоторое количество пуговиц остается. То есть, общее количество пуговиц делится на 9 с остатком. Это можно записать как:

   $$10n \equiv r_1 \pmod{9},$$

   где $r_1$ — остаток. Мы знаем, что остаток от деления на 9 — это число от 0 до 8.

2. Если пуговицы пришивают на детские рубашки, по 6 штук на каждую, то остаток на 3 пуговицы больше. Это означает, что остаток при делении на 6 равен 3:

   $$10n \equiv 3 \pmod{6}.$$

Теперь давайте решать эти две системы.

Шаг 1: Анализ второго условия

Из второго условия мы знаем:

Пусть попробуем найти $n$. Поскольку $10 \equiv 4 \pmod{6}$, получаем:

Теперь попробуем подставить значения $n$ от 0 до 5 и найти подходящее:

• Для $n = 0$: $4 \cdot 0 = 0 \equiv 0 \pmod{6}$.
• Для $n = 1$: $4 \cdot 1 = 4 \equiv 4 \pmod{6}$.
• Для $n = 2$: $4 \cdot 2 = 8 \equiv 2 \pmod{6}$.
• Для $n = 3$: $4 \cdot 3 = 12 \equiv 0 \pmod{6}$.
• Для $n = 4$: $4 \cdot 4 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$.
• Для $n = 5$: $4 \cdot 5 = 20 \equiv 2 \pmod{6}$.

Никто из этих значений не даёт нам остаток 3, так что таких решений нет