Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и с осью Оу угол 60°. Длина его r = 6. Определите координаты точки М, если её координата z отрицательна, и выразите вектор OM = r через орты i, j, k.

Используем направляющие косинусы. Если радиус-вектор длины \(r\) образует с осями углы \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), то:

\[x=r\cos\alpha,\quad y=r\cos\beta,\quad z=r\cos\gamma\]

По условию \(r=6\), \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=60^\circ\).

Находим координаты:

\[x=6\cos45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2\]

\[y=6\cos60^\circ=6\cdot\frac12=3\]

Для третьей координаты используем свойство направляющих косинусов:

\[\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\]

\[\frac12+\frac14+\cos^2\gamma=1\]

\[\cos^2\gamma=\frac14\]

Так как координата \(z\) отрицательна, берём \(\cos\gamma=-\frac12\). Тогда:

\[z=6\cdot\left(-\frac12\right)=-3\]

Координаты точки:

\[M(3\sqrt2;\ 3;\ -3)\]

Вектор через орты:

\[\vec{OM}=3\sqrt2\,\vec{i}+3\vec{j}-3\vec{k}\]

0 0 Пожаловаться