Три числа образуют геометрическую прогрессию, в которой q > 1. Их можно рассматривать соответственно как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из чисел, если их сумма равна 91.

Пусть три числа геометрической прогрессии равны:

\[ a, aq, aq^2 \]

Так как они являются соответственно первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии, обозначим её разность через \( d \). Тогда:

\[ a_1 = a \]

\[ a_3 = a + 2d = aq \]

\[ a_9 = a + 8d = aq^2 \]

Из второго равенства:

\[ 2d = aq - a = a(q - 1) \]

\[ d = \frac{a(q - 1)}{2} \]

Подставим в третье равенство:

\[ a + 8 \cdot \frac{a(q - 1)}{2} = aq^2 \]

\[ a + 4a(q - 1) = aq^2 \]

\[ a(4q - 3) = aq^2 \]

Так как числа не нулевые, делим на \( a \):

\[ 4q - 3 = q^2 \]

\[ q^2 - 4q + 3 = 0 \]

\[ (q - 1)(q - 3) = 0 \]

По условию \( q > 1 \), значит:

\[ q = 3 \]

Сумма чисел равна 91:

\[ a + 3a + 9a = 91 \]

\[ 13a = 91 \]

\[ a = 7 \]

Числа: \( 7 \), \( 21 \), \( 63 \).

Ответ: наибольшее число равно \( 63 \).

0 0 Пожаловаться