Найдите частные производные первого порядка и полный дифференциал функции z = cos(x - √(xy³)).

Пусть

\[ u=x-\sqrt{xy^3} \]

Тогда функция имеет вид:

\[ z=\cos u \]

Найдём частные производные. По правилу сложной функции:

\[ z_x=-\sin u \cdot u_x \]

\[ u_x=1-\frac{y^3}{2\sqrt{xy^3}} \]

Значит,

\[ z_x=-\sin\left(x-\sqrt{xy^3}\right)\left(1-\frac{y^3}{2\sqrt{xy^3}}\right) \]

Теперь по \( y \):

\[ z_y=-\sin u \cdot u_y \]

\[ u_y=-\frac{3xy^2}{2\sqrt{xy^3}} \]

Поэтому

\[ z_y=\frac{3xy^2}{2\sqrt{xy^3}}\sin\left(x-\sqrt{xy^3}\right) \]

Полный дифференциал:

\[ dz=z_x\,dx+z_y\,dy \]

\[ dz=-\sin\left(x-\sqrt{xy^3}\right)\left(1-\frac{y^3}{2\sqrt{xy^3}}\right)dx+\frac{3xy^2}{2\sqrt{xy^3}}\sin\left(x-\sqrt{xy^3}\right)dy \]

0 0 Пожаловаться