Сечением прямой треугольной призмы плоскостью, проведённой через ребро нижнего основания, длина которого равна 5, и вершину верхнего основания, является треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите объём призмы, если известно, что угол между плоскостью данного сечения и нижним основанием равен 30°.

Сечение — треугольник со сторонами \( 5 \), \( 12 \), \( 13 \). Это прямоугольный треугольник, потому что:

\[ 5^2 + 12^2 = 13^2 \]

Его площадь:

\[ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \]

Ребро нижнего основания длиной \( 5 \) является одной стороной сечения. Высота сечения к этой стороне равна:

\[ h_{сеч} = \frac{2S_{сеч}}{5} = \frac{60}{5} = 12 \]

Угол между плоскостью сечения и нижним основанием равен \( 30^\circ \). Тогда высота призмы:

\[ H = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \]

Высота основания к стороне \( 5 \):

\[ h_{осн} = 12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \]

Площадь нижнего основания:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \]

Объём призмы:

\[ V = S_{осн} \cdot H = 15\sqrt{3} \cdot 6 = 90\sqrt{3} \]

Ответ: \( 90\sqrt{3} \).

0 0 Пожаловаться