Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Известно, что каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 6 раз больше, либо в 6 раз меньше предыдущего, а сумма всех членов последовательности равна 2024.
1) Может ли последовательность состоять из 2 членов?

Чтобы ответить на вопрос, давайте разберём условия задачи:

1. Последовательность состоит из натуральных чисел.
2. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо в 6 раз больше, либо в 6 раз меньше предыдущего.
3. Сумма всех членов последовательности равна 2024.

Нужно выяснить, может ли последовательность состоять из двух членов.

Рассмотрим возможные случаи:

Обозначим первый член последовательности как $a_1$. Пусть второй член последовательности — это $a_2$.

Согласно условиям задачи, $a_2$ может быть либо в 6 раз больше $a_1$, либо в 6 раз меньше $a_1$. То есть:

При этом, так как все члены последовательности являются натуральными числами, $\frac{a_1}{6}$ должно быть целым числом, а значит, $a_1$ должно быть кратно 6.

Теперь посчитаем сумму двух членов:

1. Если $a_2 = 6 \cdot a_1$, то сумма будет:

2. Если $a_2 = \frac{a_1}{6}$, то сумма будет:

Для того чтобы эта сумма была целым числом, $a_1$ должно быть кратно 6. Но кроме того, для второй ситуации сумма $\frac{7a_1}{6}$ должна равняться 2024.

Рассмотрим первый случай $a_2 = 6 \cdot a_1$:

Сумма $a_1 + a_2 = 7a_1$, и она должна равняться 2024:

Так как $a_1 = 289$ — это натуральное число, то последовательность может состоять из двух членов. Если $a_1 = 289$, то $a_2 = 6 \cdot 289 = 1734$, и сумма этих двух чисел действительно равна 2024.

Рассмотрим второй случай $a_2 = \frac{a_1}{6}$:

Сумма $a_1 + a_2 = \frac{7a_1}{6}$, и она должна быть равна 2024:

Однако $1734$ не делится на 6, поэтому $a_1$ не может быть равно 1734 в этом случае. Следовательно, второй случай не подходит.

Ответ:

Последовательность может состоять из двух членов, если первый член равен 289, а второй — 1734.