К числу 8 слева и справа приписали одну и ту же цифру так,полученное число делилось без остатка на 6.Какое число? Помогите пожалуйста.

Давайте разберем задачу по шагам. Нам нужно приписать одну и ту же цифру $x$ слева и справа к числу 8 так, чтобы получившееся число делилось на 6.

Условие делимости на 6

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

Шаг 1: Представление числа

Если слева к числу 8 приписать цифру $x$, а потом справа ту же цифру, то получившееся число можно записать как:

Теперь проверим условия делимости.

Шаг 2: Условие делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная. Поскольку последняя цифра у нас $x$, это значит, что $x$ должно быть четным: $x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Шаг 3: Условие делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Запишем сумму цифр числа $N$:

Для выполнения условия делимости на 3:

Упростим это выражение:

Поскольку $-8 \equiv 1 \pmod{3}$, уравнение становится:

Теперь решаем. Число $2x$ при делении на 3 должно давать остаток 1. Перебираем подходящие значения $x$ из множества четных цифр.

Шаг 4: Проверка возможных значений $x$

Подставим $x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$:

1. Если $x = 0$: $2 \cdot 0 = 0$, остаток $0 \neq 1$.
2. Если $x = 2$: $2 \cdot 2 = 4$, а $4 \mod 3 = 1$. Подходит!
3. Если $x = 4$: $2 \cdot 4 = 8$, а $8 \mod 3 = 2$. Не подходит.
4. Если $x = 6$: $2 \cdot 6 = 12$, а $12 \mod 3 = 0$. Не подходит.
5. Если $x = 8$: $2 \cdot 8 = 16$, а $16 \mod 3 = 1$. Подходит!

Шаг 5: Проверка подходящих значений

Получилось два возможных $x$: $x = 2$ и $x = 8$. Проверим оба:

1. Если $x = 2$, то $N = 212$. Проверяем:

   • Последняя цифра — четная, делится на 2.
   • Сумма цифр: $2 + 1 + 2 = 5$, $5 \mod 3 \neq 0$. Не подходит.

2. Если $x = 8$, то $N = 888$. Проверяем:

   • Последняя цифра — четная, делится на 2.
   • Сумма цифр: $8 + 8 + 8 = 24$, $24 \mod 3 = 0$. Подходит!

Ответ:

Число $N = 888$. Приписанная цифра — $x = 8$.