Одинаковые по виду детали были разложены в 7 коробок с одинаковым количеством деталей. В 6 коробках находятся детали массой по 110 г, а в одной коробке масса каждой детали — 109 г. Как найти при одном взвешивании, пользуясь весами со стрелкой, в какой коробке находятся детали массой 109 г каждая?

Вот один из классических и очень аккуратных способов решить эту задачу с одним взвешиванием на весах со стрелкой.

Шаг 1. Пронумеруем коробки

Пусть коробки пронумерованы от 1 до 7.

Шаг 2. Берём разное количество деталей из каждой коробки

Чтобы при взвешивании можно было однозначно определить коробку с лёгкими деталями (109 г), возьмём из каждой коробки количество деталей, равное её номеру:

• из коробки 1 — 1 деталь

• из коробки 2 — 2 детали

• из коробки 3 — 3 детали

• …

• из коробки 7 — 7 деталей

Итого на весах окажется $1+2+3+4+5+6+7 = 28$ деталей.

Шаг 3. Рассчитаем, какой будет вес, если все детали по 110 г

Если все детали были по 110 г, то вес составил бы:

Шаг 4. Рассчитаем фактический вес

Пусть лёгкая коробка с деталями по 109 г — это коробка номер k.
Тогда на весах масса будет меньше на $k$ грамм (так как каждый "недостающий" грамм умножается на количество деталей из этой коробки):

Шаг 5. Определяем коробку

После взвешивания смотрим, насколько меньше полученный вес, чем 3080 г.

• Если вес меньше на 1 г → коробка 1

• Если вес меньше на 2 г → коробка 2

• …

• Если вес меньше на 7 г → коробка 7

Итак, разница между идеальным весом и фактическим точно показывает номер коробки с деталями массой 109 г.

✅ Итог: берём 1 деталь из 1-й коробки, 2 детали из 2-й, 3 из 3-й и так далее, взвешиваем их все вместе. Разница в граммах от идеального веса = номер коробки с лёгкими деталями.

Это позволяет определить коробку всего за одно взвешивание.