На доске написано несколько натуральных чисел, состоящих только из цифр 4 и 9. Может ли сумма чисел равняться 107? Может ли сумма чисел равняться 289? Сколько чисел записано, чтобы в результате сложения получилось 3986?

Разберу через остатки и затем явно проверю, какие наборы возможны для каждой суммы.

Да, сумма 107 получиться может:

Все числа здесь состоят только из цифр 4 и 9.

Да, сумма 289 тоже получиться может:

Теперь про сумму 3986.

Заметим главное: любое число, состоящее только из цифр 4 и 9, при делении на 5 даёт остаток 4. Например:

Если на доске записано $k$ таких чисел, то их сумма даёт остаток

А число 3986 при делении на 5 даёт остаток 1:

Значит,

Так как $4\equiv -1\pmod5$, получаем:

откуда

То есть количество чисел должно давать остаток 4 при делении на 5: это может быть 4, 9, 14, 19 и так далее.

Например, сумму 3986 можно получить из 4 чисел:

Но можно получить и из 9 чисел:

Поэтому точное количество чисел определить нельзя. Можно сказать только, что их число имеет вид

Минимально возможное количество — 4 числа.