На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173? Объясните почему и как подробно.
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109? Объясните почему и как подробно.
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021? Объясните почему и как подробно, приведите примеры решения.

Разберу задачу как сумму различных чисел из набора $1,6,11,16,61,66,\ldots$, то есть каждое число можно брать не более одного раза. Для пункта (в) нужно не только построить пример, но и доказать, что меньшим количеством нельзя.

а) Да, может.

Например, можно написать на доске числа

Они все различные, и в записи каждого из них используются только цифры $1$ и $6$. Проверяем сумму:

Значит, сумма таких различных натуральных чисел может быть равна 173.

б) Нет, не может.

Рассмотрим все числа, которые можно использовать. Так как сумма должна быть равна $109$, числа больше $109$ брать нельзя. А наименьшее трёхзначное число из цифр $1$ и $6$ — это $111$, оно уже больше $109$.

Значит, можно использовать только числа

Теперь заметим важное свойство: каждое число, записанное только цифрами $1$ и $6$, даёт остаток $1$ при делении на $5$. Действительно, число по модулю $5$ определяется последней цифрой, а последняя цифра либо $1$, либо $6$. При этом

Значит, если сумма равна $109$, то количество слагаемых должно давать такой же остаток, как $109$ при делении на $5$.

Следовательно, количество чисел на доске должно давать остаток $4$ при делении на $5$. Из доступных шести чисел это может быть только $4$ числа.

Проверим, можно ли выбрать $4$ числа из набора

так, чтобы их сумма была $109$.

Сумма всех шести чисел равна

Если выбрать $4$ числа с суммой $109$, то оставшиеся два числа должны иметь сумму

Но среди чисел

нет двух различных чисел, сумма которых равна $52$. Малые числа дают слишком маленькие суммы, а если взять $61$ или $66$, сумма уже больше $52$.

Значит, получить сумму $109$ невозможно.

Ответ: нет, сумма не может быть равна 109.

в) Наименьшее количество чисел — 6.

Сначала докажем, что меньше $6$ чисел быть не может.

Как уже было замечено, любое число, записанное только цифрами $1$ и $6$, даёт остаток $1$ при делении на $5$. Значит, сумма $k$ таких чисел даёт остаток $k$ при делении на $5$.

Нам нужна сумма

Найдём остаток:

Значит, количество чисел $k$ должно удовлетворять условию

То есть количество чисел может быть

Но одним числом получить $1021$ нельзя, потому что само число $1021$ содержит цифры $0$ и $2$, а разрешены только цифры $1$ и $6$.

Следовательно, меньше чем $6$ чисел быть не может. Значит, нужно проверить, можно ли получить $1021$ суммой $6$ различных чисел.

Можно:

Проверим:

Все числа различные, и каждое состоит только из цифр $1$ и $6$.

Значит, сумма $1021$ достижима с помощью $6$ чисел, а меньше $6$ чисел быть не может.

Ответ: наименьшее количество чисел равно 6.