1. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом в 60 градусов к нему. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Захарова Арина.

Площадь сечения равна

S=\frac{\pi R^2}{4}.

Пусть $O$ — центр шара, $A$ — конец радиуса, через который проведена плоскость. Тогда $OA=R$ .

Плоскость проходит через точку $A$ и образует с радиусом $OA$ угол $60^\circ$ . Чтобы найти площадь сечения шара плоскостью, нужно найти радиус окружности сечения.

Сечение шара плоскостью всегда является кругом. Если расстояние от центра шара до плоскости равно $d$ , то радиус сечения $r$ находится по формуле:

r^2=R^2-d^2.

Так как радиус $OA$ образует с плоскостью угол $60^\circ$ , расстояние от центра шара до плоскости равно перпендикулярной составляющей радиуса:

d=R\sin 60^\circ.

Так как

\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},

получаем:

d=\frac{\sqrt3}{2}R.

Тогда

r^2=R^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}R\right)^2 =R^2-\frac34R^2 =\frac14R^2.

Значит,

r=\frac R2.

Площадь сечения:

S=\pi r^2=\pi\left(\frac R2\right)^2=\frac{\pi R^2}{4}.

Ответ:

\boxed{\frac{\pi R^2}{4}}

Площадь сечения также равна

S=\frac{\pi R^2}{4}.

Пусть $O$ — центр шара, $A$ — точка поверхности шара. Тогда $OA=R$ .

Первая плоскость является касательной к шару в точке $A$ . Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Значит,

OA \perp \text{касательной плоскости}.

Вторая плоскость проходит через ту же точку $A$ и образует с касательной плоскостью угол $30^\circ$ .

Так как радиус $OA$ перпендикулярен касательной плоскости, то угол между радиусом $OA$ и второй плоскостью будет равен

90^\circ-30^\circ=60^\circ.

То есть вторая задача фактически сводится к первой: через конец радиуса проведена плоскость под углом $60^\circ$ к этому радиусу.

Поэтому расстояние от центра шара до второй плоскости:

d=R\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R.

Радиус окружности сечения:

r^2=R^2-d^2 =R^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}R\right)^2 =R^2-\frac34R^2 =\frac14R^2.

Следовательно,

r=\frac R2.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика