Радиус шара равен 8/√π. Через конец радиуса под углом 60° к нему проведена плоскость. Найдите площадь сечения.

Давай разберём задачу шаг за шагом, аккуратно и подробно.

Дано:

• Радиус шара: $R = \frac{8}{\sqrt{\pi}}$

• Плоскость проходит через конец радиуса под углом $\alpha = 60^\circ$ к радиусу.

• Нужно найти площадь сечения.

Шаг 1. Геометрическая модель

Пусть центр шара — точка $O$, а конец радиуса — точка $A$ на поверхности. Плоскость проходит через $A$ и образует угол $\alpha = 60^\circ$ с радиусом $OA$.

Площадь сечения плоскостью шара всегда круг. Радиус этого круга можно найти через угол между радиусом и нормалью к плоскости.

Шаг 2. Радиус сечения

Для шара радиусом $R$, если плоскость проходит через точку на поверхности и образует угол $\alpha$ с радиусом, радиус сечения $r$ вычисляется по формуле:

Проверим:

• Плоскость проходит через точку $A$ на поверхности, угол между радиусом и плоскостью $\alpha = 60^\circ$.

• Значит, наибольший радиус кругового сечения, который будет в этой плоскости, равен $r = R \sin \alpha$.

Шаг 3. Подставим значения

Шаг 4. Площадь круга

Площадь круга с радиусом $r$ равна:

Подставим $r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}$:

✅ Ответ

Площадь сечения плоскостью равна 48.