В группе 25 студентов, среди них 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

Чтобы найти вероятность того, что среди случайно отобранных 9 студентов из группы из 25 человек, среди которых 8 отличников, будет ровно 5 отличников, мы можем воспользоваться комбинаторикой.

1. Определим общее количество студентов:
   У нас есть 25 студентов в группе.

2. Количество отличников:
   Из этих 25 студентов 8 являются отличниками.

3. Количество студентов, не являющихся отличниками:
   Это будет $25 - 8 = 17$ студентов.

4. Общее количество отбираемых студентов:
   Мы отбираем 9 студентов.

5. Наша цель:
   Найти вероятность того, что среди этих 9 студентов ровно 5 будут отличниками.

Комбинаторный подход

Для решения задачи используем формулу для вероятности, которая включает комбинаторные числа:

6. Общее количество способов выбрать 9 студентов из 25:
   Это можно выразить через комбинаторные числа как $C(25, 9)$, где $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

   $$C(25, 9) = \frac{25!}{9!(25-9)!} = \frac{25!}{9! \cdot 16!}$$

7. Количество способов выбрать 5 отличников из 8:
   Это выражается как $C(8, 5)$.

   $$C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!}$$

8. Количество способов выбрать 4 студента (не отличников) из 17:
   Это выражается как $C(17, 4)$.

   $$C(17, 4) = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17!}{4! \cdot 13!}$$

9. Количество благоприятных исходов:
   Это произведение $C(8, 5) \times C(17, 4)$.

10. Подставим все значения в формулу:

Расчеты

Теперь давайте произведем необходимые расчеты:

• $C(25, 9)$:

• $C(8, 5)$:

• $C(17, 4)$:

Итоговая вероятность

Теперь подставим все значения в формулу:

Выполнив умножение:

Теперь найдем вероятность:

Ответ

Вероятность того, что среди отобранных 9 студентов будет ровно 5 отличников, составляет примерно 0.0648 или 6.48%.