Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее,

Ответы на вопрос

Отвечает Андрусишина Алина.

Рассмотрим задачу пошагово, чтобы оценить вероятность сдачи зачета студентом.

Условия задачи:

Всего вопросов в программе — 25.
Из них студент знает — 20 вопросов.
Зачет считается сданным, если студент ответит на 3 из 4 вопросов в билете.
Студент взглянул на первый вопрос и выяснил, что знает его.

Изменим пространство событий

Так как первый вопрос известен, задача сводится к тому, что теперь студенту осталось правильно ответить на 2 из 3 оставшихся вопросов.

Теперь пространство возможных вопросов сокращается до 24, из которых 19 известны студенту (поскольку один вопрос он уже знает).

Определим вероятность события

Пусть:

$K$ — количество вопросов, которые студент знает (19 из оставшихся 24),
$N$ — общее количество возможных вопросов в каждом оставшемся выборе (24).

Для решения задачи необходимо рассчитать вероятность того, что из 3 оставшихся вопросов студент знает не менее 2. Применим здесь формулу для биномиального распределения.

1. Вероятность сдать зачет

Вероятность ответа на два известных вопроса

Возможные варианты для сдачи зачета:

Студент отвечает правильно на 2 из 3 оставшихся вопросов,
или на все 3.

Сначала вычислим вероятность этих исходов:

а) Вероятность, что он ответит на 2 из 3 правильно, а один — неправильно:

Вероятность выбора известного вопроса: $\frac{19}{24}$ ,
Вероятность выбора неизвестного вопроса: $\frac{5}{24}$ .

Используем биномиальную формулу для комбинаций: вероятность того, что из 3 вопросов 2 будут известны, а 1 неизвестен:

P(\text{2 известных, 1 неизвестен}) = C_3^2 \cdot \left(\frac{19}{24}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{24}\right)^1

где $C_3^2 = 3$ — число сочетаний по 2 из 3.

б) Вероятность, что студент ответит на все 3 правильно:

P(\text{3 известных}) = \left(\frac{19}{24}\right)^3

Суммарная вероятность сдачи зачета

Теперь складываем полученные вероятности:

P(\text{сдать}) = P(\text{2 известных, 1 неизвестен}) + P(\text{3 известных})

Подставляем значения:

P(\text{сдать}) = 3 \cdot \left(\frac{19}{24}\right)^2 \cdot \frac{5}{24} + \left(\frac{19}{24}\right)^3

2. Вероятность не сдать зачет

Вероятность не сдать зачет — это обратная величина:

P(\text{не сдать}) = 1 - P(\text{сдать})

Заключение

Подставив числовые значения, получаем точные значения вероятностей для каждой ситуации.

Последние заданные вопросы в категории Математика