Вычислите площадь параллелограмма ABCD по координатам вершин: B(1; -3; 4), C(-4; 2; 3), D(3; 0; -1).

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, заданный точками:
$B(1;\,-3;\,4)$, $C(-4;\,2;\,3)$, $D(3;\,0;\,-1)$.

1. Найдём координаты точки $A$

Для параллелограмма выполняется свойство:

Отсюда:

Считаем координаты:

• $B + D = (1+3,\,-3+0,\,4+(-1)) = (4,\,-3,\,3)$

• $A = (4,\,-3,\,3) - (-4,\,2,\,3)$

• $A = (4+4,\,-3-2,\,3-3) = (8,\,-5,\,0)$

Итак, $A(8;\,-5;\,0)$.

2. Найдём векторы сторон

Возьмём стороны, выходящие из точки $A$:

3. Находим векторное произведение

Считаем:

• по $\mathbf{i}$: $2\cdot(-1) - 4\cdot5 = -2 - 20 = -22$

• по $\mathbf{j}$: $- ( (-7)\cdot(-1) - 4\cdot(-5) ) = -(7 - (-20)) = -27$

• по $\mathbf{k}$: $(-7)\cdot5 - 2\cdot(-5) = -35 + 10 = -25$

Получаем:

4. Площадь параллелограмма

Площадь равна модулю векторного произведения:

Ответ: