Доказать с помощью метода математической индукции:
1*2+2*5+...+n(3n-1)=n²(n+1)

Докажем по методу математической индукции тождество:

То есть в общем виде:

1. База индукции (n = 1)

Левая часть:

Правая часть:

База верна.

2. Индукционное предположение

Пусть утверждение верно для некоторого $n$, то есть:

3. Индукционный переход (докажем для n+1)

Рассмотрим сумму до $n+1$:

Подставим индукционное предположение:

Вынесем общий множитель $(n+1)$:

Разложим квадратный трехчлен:

Тогда:

4. Сравнение с правой частью

Правая часть для $n+1$:

Получили то же самое.

Вывод

Так как база верна и выполнен индукционный переход, то равенство

доказано для всех натуральных $n$.