Точка К делит отрезок MN в отношении МК : KN = 3:4. Выразите вектор AM через векторы а = АК и b = AN, где А — произвольная точка, не лежащая на прямой MN.



ПОЖАЛУЙСТА ПОДРОБНО, ОБЪЯСНИТЕ!!!!!!!!!!

Для решения задачи нужно выразить вектор $\mathbf{AM}$ через векторы $\mathbf{a} = \mathbf{AK}$ и $\mathbf{b} = \mathbf{AN}$, используя данное отношение деления отрезка $MK : KN = 3 : 4$. Объясним это шаг за шагом.

1. Введение обозначений

Пусть:

• $M$ и $N$ — точки на прямой,
• $K$ — точка, делящая отрезок $MN$ в отношении $MK : KN = 3 : 4$,
• $\mathbf{a} = \mathbf{AK}$,
• $\mathbf{b} = \mathbf{AN}$.

Нужно выразить $\mathbf{AM}$ через $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

2. Представление точки $K$ через отношение деления

По условию, $K$ делит отрезок $MN$ в отношении $3 : 4$. Это означает, что точка $K$ находится ближе к $M$, чем к $N$, и её положение можно описать через векторное уравнение:

Упростим коэффициенты:

3. Выразим $\mathbf{M}$ через $\mathbf{A}, \mathbf{K}, \mathbf{N}$

Теперь нам нужно выразить $\mathbf{M}$, начав с точки $K$, через $\mathbf{A}, \mathbf{K}$ и $\mathbf{N}$.

Пусть:

Подставим эти выражения в уравнение для $\mathbf{K}$:

Раскроем скобки:

Соберём все члены, содержащие $\mathbf{M}$, в одну часть:

Упростим правую часть:

Умножим обе части на $\frac{7}{4}$, чтобы избавиться от дроби:

4. Записываем итоговый ответ

Таким образом, вектор $\mathbf{AM}$, который равен $\mathbf{M} - \mathbf{A}$, выразится как:

Объяснение результата

1. Точка $K$ делит $MN$ в отношении $3 : 4$, что позволяет выразить положение $K$ через $M$ и $N$.
2. Векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ задают направление к $K$ и $N$ соответственно, а вектор $\mathbf{AM}$ вычисляется через эти базовые направления.
3. Коэффициенты $\frac{7}{4}$ и $-\frac{3}{4}$ отражают вклад $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в зависимости от положения $M$ относительно $K$ и $N$.