Докажите признак равенства равнобедренных треугольников: если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$.
Известно, что:

• $AB=A_1{B}_1$ — боковая сторона одного треугольника равна боковой стороне другого;

• $AC=A_1{C}_1$ — вторая боковая сторона одного равна второй боковой стороне другого (так как треугольники равнобедренные, их боковые стороны попарно равны);

• $BC=B_1{C}_1$ — основания равны.

Доказать: $△ABC=△A_1{B}_1{C}_1$.

Доказательство:

Так как $△ABC$ равнобедренный, то его боковые стороны равны:

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $A_1{B}_1{C}_1$:

По условию одна боковая сторона первого треугольника равна одной боковой стороне второго:

Следовательно, из равенства боковых сторон равнобедренных треугольников получаем:

Также по условию основания равны:

Таким образом, у двух треугольников имеются три равные соответствующие стороны:

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) эти треугольники равны:

Следовательно, если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и основанию другого, то такие треугольники равны. Что и требовалось доказать.