Вася хочет выбрать пять книг из двенадцати, стоящих на полке. Сколькими способами он сможет это

Ответы на вопрос

Отвечает Чувашова Елизавета.

Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы понять, сколькими способами Вася сможет выбрать пять книг из двенадцати, учитывая условие, что книги нельзя брать подряд.

1. Основная идея: выбор книг с ограничением

В обычной комбинаторике, если бы книги можно было выбирать без ограничений, количество способов выбрать 5 книг из 12 определялось бы сочетаниями:

C(12, 5) = \frac{12!}{5! \cdot (12 - 5)!} = 792.

Однако в нашем случае книги нельзя выбирать подряд. Это значит, что между каждой парой выбранных книг должна быть хотя бы одна пропущенная книга. Учет этого ограничения требует другой подход.

2. Обозначение интервалов между выбранными книгами

Пусть Вася выбирает 5 книг: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ , где $A_i$ — номер выбранной книги по порядку. Для выполнения условия между любыми двумя выбранными книгами должен быть хотя бы один пропуск. Это означает, что номера $A_i$ должны удовлетворять следующему:

A_1 < A_2 - 1 < A_3 - 1 < A_4 - 1 < A_5 - 1.

Обозначим новые переменные:

B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 - 1, \quad B_3 = A_3 - 1, \quad B_4 = A_4 - 1, \quad B_5 = A_5 - 1.

Теперь $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ — возрастающая последовательность, где $1 \leq B_1 < B_2 < B_3 < B_4 < B_5 \leq 12 - (5 - 1) = 8$ . То есть, нам нужно выбрать 5 чисел из множества $\{1, 2, 3, ..., 8\}$ , так как оставшиеся 4 книги автоматически разделяют выбранные книги.

3. Количество способов выбора

Количество способов выбрать 5 чисел из 8 (сочетания) определяется формулой:

C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8 - 5)!}.

Вычислим это значение:

C(8, 5) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56.

4. Ответ

Таким образом, Вася может выбрать 5 книг из 12, учитывая ограничение, что книги не должны стоять рядом, 56 способами.

Последние заданные вопросы в категории Математика