Найдите наименьшее значение функции y = 9 + π√3 – 3x√3 – 6cos x на отрезке [0; π/2].

Дана функция:

на отрезке:

Чтобы найти наименьшее значение функции, найдем производную:

Приравниваем производную к нулю:

На данном отрезке это выполняется при:

Проверим, является ли эта точка минимумом. Найдем вторую производную:

При $x=\frac{\pi }{3}$:

Значит, в точке $x=\frac{\pi }{3}$ функция имеет минимум.

Теперь найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

1. При $x=0$:

2. При $x=\frac{\pi }{2}$:

Так как $\cos \frac{\pi }{2}=0$, получаем:

3. При $x=\frac{\pi }{3}$:

Сокращаем:

Сравним полученные значения: