Найти плоскую меру множества, ограниченного заданными линиями на плоскости Оxy, и сделать

Ответы на вопрос

Отвечает Пушкарёва Вероника.

Даны линии:

y = cos x, y = sin x, y = 0

Нужно найти площадь плоской фигуры, ограниченной этими линиями.

Сначала найдем пересечение графиков $y = sin x$ и $y = cos x$ :

sin x = cos x

Делим на $cos x$ :

tan x = 1

Отсюда:

x = \frac{π}{4} + πk

Ближайшая положительная точка:

x = \frac{π}{4}

При этом:

y = sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

Теперь найдем пересечение с осью $O x$ ( $y = 0$ ):

Для синуса:

sin x = 0

x = 0, π, 2 π ...

Для косинуса:

cos x = 0

x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ...

Получается, что замкнутая область находится на промежутке:

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

На этом участке:

Площадь:

S = \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin x d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos x d x

Вычислим первый интеграл:

\int sin x d x = - cos x

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sin x d x = - cos \frac{π}{4} + cos 0

= 1 - \frac{2}{2}

Второй интеграл:

\int cos x d x = sin x

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos x d x = sin \frac{π}{2} - sin \frac{π}{4}

= 1 - \frac{2}{2}

Теперь складываем:

S = (1 - \frac{2}{2}) + (1 - \frac{2}{2})

S = 2 - 2

S = 2 - 2

Найти плоскую меру множества, ограниченного заданными линиями на плоскости Оxy, и сделать чертеж. Уравнение линий: y=cosx, y=sinx, 0