Основание BC трапеции ABCD равно боковой стороне AB и в два раза меньше основания AD. Найдите величину угла ACD.

Ответ: $\angle ACD=90^\circ$.

Решение:

По условию трапеции $ABCD$:

• $AD\parallel BC$, так как $AD$ и $BC$ — основания трапеции;

• $AB=BC$;

• $AD=2BC$.

Докажем, что угол $ACD$ прямой.

1. Обозначим через $M$ середину основания $AD$.

Тогда:

Поскольку $AD=2BC$, получаем:

2. Рассмотрим четырёхугольник $ABCM$.

Так как $BC\parallel AM$ и $BC=AM$, то четырёхугольник $ABCM$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: две противоположные стороны равны и параллельны).

Следовательно, его противоположные стороны равны:

Но по условию $AB=BC$, а $BC=AM=MD$.

Таким образом,

3. Из полученного равенства следует, что точки $A$, $C$ и $D$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $M$.

Значит, они лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $AM$.

При этом $M$ — середина отрезка $AD$, поэтому $AD$ является диаметром этой окружности.

4. По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^\circ$.

Угол $ACD$ опирается именно на диаметр $AD$.

Следовательно,

Ответ: $90^\circ$.