Постройте график функции y = x|x| - 2x - 1. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Рассмотрим функцию:

1. Построим график функции.

Раскроем модуль по определению:

Тогда получим:

При $x\geq 0$ график представляет собой правую часть параболы

При $x<0$ график представляет собой левую часть параболы

2. Определим наибольшее число точек пересечения с горизонтальной прямой.

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение

где $a$ — некоторое число.

Подставим это значение в уравнение функции.

Для $x\geq 0$:

Для $x<0$:

Оба уравнения квадратные, поэтому каждое из них может иметь не более двух корней. Однако с учётом условий $x\geq 0$ и $x<0$ количество точек пересечения может быть меньше.

Рассмотрим вершины соответствующих парабол:

• Для правой ветви вершина находится в точке $(1;-2)$. На промежутке $x\geq 0$ минимальное значение функции равно $-2$.

• Для левой ветви вершина находится в точке $(-1;0)$. На промежутке $x<0$ максимальное значение функции равно $0$.

Поэтому:

• При $a<-2$ горизонтальная прямая не пересекает график.

• При $a=-2$ она имеет две общие точки.

• При $-2$ она пересекает обе ветви параболы, то есть имеет четыре общие точки.

• При $a=0$ она имеет три общие точки.

• При $a>0$ она имеет две общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек достигается при