Построить график функции y=|x^2-x-2|. Какое наибольшее число общих точек график функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? Можно поподробнее, мало понимаю в этом.

Давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.

1. Функция y = |x² - x - 2|:

   • Это функция с модулем, который определяет, что выражение внутри модуля всегда будет положительным или равно нулю.

   • Сначала разберемся, как выглядит выражение внутри модуля: $x^2 - x - 2$. Это квадратное уравнение, которое можно решить для нахождения его корней. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта.

   • Решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$:

     • Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

     • Корни уравнения $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$, то есть $x = 2$ или $x = -1$.

2. График функции:

   • Так как это модуль, то сама функция $y = |x^2 - x - 2|$ будет равна положительному значению $x^2 - x - 2$ на промежутках, где $x^2 - x - 2 \geq 0$, и равна отрицательному значению $-(x^2 - x - 2)$ на промежутках, где $x^2 - x - 2 < 0$.

   • При этом график функции будет представлять собой два отрезка: один для значений, где $x^2 - x - 2$ положительно, и второй, где эта функция становится отрицательной, но после применения модуля становится положительной.

3. График прямой, параллельной оси абсцисс:

   • Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид $y = k$, где $k$ — это некоторое постоянное значение. Мы можем анализировать, сколько раз график функции $y = |x^2 - x - 2|$ может пересекать такую прямую.

4. Число пересечений:

   • Для того чтобы понять, сколько пересечений будет между графиком функции и прямой $y = k$, нужно решить уравнение $|x^2 - x - 2| = k$.

   • Это уравнение эквивалентно системе из двух уравнений:

     1. $x^2 - x - 2 = k$

     2. $x^2 - x - 2 = -k$

   • Каждое из этих уравнений — квадратное уравнение, и в зависимости от значений $k$, оно может иметь от 0 до 2 решений для каждого случая.

5. Максимальное количество пересечений:

   • Для каждого из квадратных уравнений (в системе выше) может быть два корня. То есть, для каждого из уравнений $x^2 - x - 2 = k$ и $x^2 - x - 2 = -k$ мы можем получить два пересечения.

   • Следовательно, в сумме количество пересечений может быть до 4.

Таким образом, график функции может иметь до 4 общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс.