Из 10 юношей и 12 девушек, прибывших на соревнования по теннису, тренер должен выделить для участия в соревнованиях пар 2 юношей и 2 девушек. Сколькими способами он может это сделать?

Задача сводится к выбору определённого количества юношей и девушек для участия в соревнованиях. Давайте разберём её поэтапно:

1. Выбор 2 юношей из 10: Поскольку мы должны выбрать 2 юношей из 10, то для этого можно использовать формулу для сочетаний, которая выглядит так:

   $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

   где $n$ — это общее количество юношей, а $k$ — количество юношей, которых нужно выбрать.

   В нашем случае:

   $$C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$

   То есть, существует 45 способов выбрать 2 юношей из 10.

2. Выбор 2 девушек из 12: Аналогично, для выбора 2 девушек из 12, также используем формулу сочетаний:

   $$C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$

   Таким образом, существует 66 способов выбрать 2 девушки из 12.

3. Общий выбор: Поскольку выбор юношей и девушек независим друг от друга, общее количество способов для выбора 2 юношей и 2 девушек будет произведением найденных чисел:

   $$45 \times 66 = 2970$$

Итак, тренер может выделить участников для соревнований 2970 способами.