Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека,во вторую 5 и в третью 12 сколькими способами это можно сделать

Чтобы рассчитать количество способов разделения 20 студентов на 3 бригады разного размера, мы можем использовать комбинаторику. Комбинаторика — это раздел математики, изучающий упорядоченные выборки объектов и их группировки.

1. Выбор 3 студентов в первую бригаду: Из 20 студентов нам нужно выбрать 3 для первой бригады. Это можно сделать $C(20, 3)$ способами, где $C(n, k)$ — это число сочетаний из $n$ по $k$ и рассчитывается как $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

2. Выбор 5 студентов во вторую бригаду: После того как первая бригада сформирована, у нас остается 17 студентов (20 - 3), из которых мы должны выбрать 5 для второй бригады. Это можно сделать $C(17, 5)$ способами.

3. Выбор 12 студентов в третью бригаду: Наконец, после формирования первых двух бригад остается 12 студентов (20 - 3 - 5), которые автоматически образуют третью бригаду. Теоретически, это можно считать $C(12, 12)$ способами, но поскольку $C(n, n) = 1$ для любого $n$, этот шаг не влияет на общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов разделения студентов, мы умножаем количество способов на каждом шаге:

$C(20, 3) \times C(17, 5) \times C(12, 12)$

Теперь давайте подставим значения и рассчитаем:

$C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \times 17!}$

$C(17, 5) = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5! \times 12!}$

$C(12, 12) = \frac{12!}{12!(12-12)!} = 1$

Итак, общее количество способов:

$\frac{20!}{3! \times 17!} \times \frac{17!}{5! \times 12!} \times 1$

Упрощая, получаем:

$\frac{20!}{3! \times 5! \times 12!}$

Это и будет искомым числом способов, которыми можно разделить 20 студентов на 3 бригады с заданным количеством членов в каждой. Давайте вычислим это значение.

Итак, 20 студентов можно разделить на 3 бригады заданного размера (3 в первую, 5 во вторую и 12 в третью) $7,054,320$ различными способами. ​​