Марк выписал числа от 1 до 9 в некотором порядке.Затем он нашел среднее арифмитическое в кождой пре соседних чисел в этом ряду и сложил получившиеся 8 чисел.Какая наибольшая сумм могла у него получиться??

Для того чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, что именно делает Марк и какие правила нужно соблюдать, чтобы получить максимальную сумму.

Шаг 1: Понимание задачи

Марк выписывает числа от 1 до 9 в некотором порядке. Затем он находит среднее арифметическое для каждой пары соседних чисел. То есть, если числа идут в ряду $a_1, a_2, \dots, a_9$, то для каждой пары $(a_i, a_{i+1})$, где $i = 1, 2, \dots, 8$, он находит среднее арифметическое:

Далее он складывает все эти средние арифметические для 8 пар соседних чисел. Нам нужно найти, при каком порядке чисел от 1 до 9 сумма этих средних арифметических будет максимальной.

Шаг 2: Распишем, как можно выразить эту сумму

Сумма средних арифметических для всех 8 пар может быть записана так:

Упростим выражение. Это можно переписать как:

Если раскрыть суммирование, то получится:

Здесь можно заметить, что все числа $a_2, a_3, \dots, a_8$ появляются дважды, а $a_1$ и $a_9$ — по одному разу. То есть:

Шаг 3: Условие для максимальной суммы

Наша цель — максимизировать сумму $S$. Для этого нам нужно максимизировать выражение $a_1 + 2(a_2 + a_3 + \dots + a_8) + a_9$. Заметим, что для максимизации суммы важно, чтобы сумма чисел $a_2 + a_3 + \dots + a_8$ была как можно больше. Это означает, что числа $a_2$ до $a_8$ должны быть как можно больше.

Шаг 4: Как распорядиться числами для максимальной суммы

Для того чтобы сумма была максимальной, числа $a_2, a_3, \dots, a_8$ должны быть как можно большими. Очевидно, что если мы поставим на первые и последние места самые маленькие числа, а на остальные — самые большие, то сумма $S$ будет максимальной.

Таким образом, мы можем расположить числа следующим образом:

Шаг 5: Пример порядка чисел

Рассмотрим пример, когда числа расположены в порядке: $1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2$.

Теперь вычислим сумму средних арифметических:

• $\frac{1 + 9}{2} = 5$
• $\frac{9 + 8}{2} = 8.5$
• $\frac{8 + 7}{2} = 7.5$
• $\frac{7 + 6}{2} = 6.5$
• $\frac{6 + 5}{2} = 5.5$