B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо.
После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо.
Сколько конфет после этого осталось? Покажите ответ с решением, пожалуйста!

Чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на этапы и последовательно проанализируем действия Васи и Пети:

1. Вася съедает конфеты:

• Вася начинает с девятой конфеты слева. После этого он съедает каждую седьмую конфету, продвигаясь вправо.

• Всего на столе лежит 1000 конфет. Мы пронумеруем их от 1 до 1000.

• Начиная с конфеты номер 9, Вася будет съедать следующие номера конфет:

  • $9, 9+7 = 16, 16+7 = 23, \dots$.

• Общая формула для конфет, которые ест Вася, выглядит так:

  $$a_n = 9 + 7(n-1),$$

  где $a_n$ — номер конфеты, а $n$ — это порядок съеденной конфеты.

• Последний номер конфеты, который съест Вася, должен быть меньше или равен 1000. Решаем неравенство:

  $$9 + 7(n-1) \leq 1000.$$

  Преобразуем:

  $$7(n-1) \leq 991, \quad n-1 \leq \frac{991}{7}, \quad n-1 \leq 141.$$

  Отсюда $n \leq 142$. Таким образом, Вася съест 142 конфеты.

• После этого остаётся:

  $$1000 - 142 = 858 \quad \text{конфет}.$$

2. Петя съедает конфеты:

• Петя начинает с седьмой слева конфеты из оставшихся 858 конфет. После этого он съедает каждую девятую конфету, продвигаясь вправо.

• После действий Васи оставшиеся конфеты расположены в порядке возрастания, но без тех, которые съел Вася. Мы пронумеруем оставшиеся конфеты от 1 до 858.

• Петя начнёт с конфеты под номером 7. Далее он будет есть каждую девятую. Формула для съедаемых Петей конфет:

  $$b_m = 7 + 9(m-1),$$

  где $b_m$ — номер конфеты, а $m$ — это порядок съеденной конфеты.

• Последний номер конфеты, который съест Петя, должен быть меньше или равен 858. Решаем неравенство:

  $$7 + 9(m-1) \leq 858.$$

  Преобразуем:

  $$9(m-1) \leq 851, \quad m-1 \leq \frac{851}{9}, \quad m-1 \leq 94.$$

  Отсюда $m \leq 95$. Таким образом, Петя съест 95 конфет.

• После действий Пети остаётся:

  $$858 - 95 = 763 \quad \text{конфеты}.$$

Ответ:

После действий Васи и Пети осталось 763 конфеты.