Известно, что в среднем 64% студентов потока выполняют контрольные работы в срок. Какова вероятность того, что из 100 студентов потока задержат представление контрольных работ: а) 30 студентов; б) от 30 до 48 студентов.

Решение задачи по вероятности:

Дано:

• В среднем 64% студентов выполняют контрольные работы в срок, значит $p = 0.64$, а вероятность того, что студент не выполнит работу в срок: $q = 1 - p = 0.36$.
• Общее количество студентов: $n = 100$.
• Требуется найти вероятность того, что:
  1. Задержат работы ровно 30 студентов ($k = 30$).
  2. Задержат работы от 30 до 48 студентов ($30 \leq k \leq 48$).

Задача решается с использованием биномиального распределения или приближенного нормального распределения, если $n$ достаточно велико.

1. Ровно 30 студентов задержат контрольные работы

Для биномиального распределения вероятность определяется формулой:

где:

• $C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставляем $n = 100$, $k = 30$, $p = 0.64$, $q = 0.36$. Для ручного подсчета использование формулы затруднительно из-за громоздких вычислений. В таких случаях прибегаем к приближению нормальным распределением, поскольку $n$ велико, а $p$ не слишком близко к 0 или 1.

Условие перехода к нормальному распределению: При больших $n$, биномиальное распределение можно приближать нормальным распределением со следующими параметрами:

• Среднее значение: $\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.64 = 64$,
• Дисперсия: $\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 100 \cdot 0.64 \cdot 0.36 = 23.04$,
• Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{23.04} \approx 4.8$.

Теперь вероятность $P(k = 30)$ оценивается через стандартное нормальное распределение.

Сначала преобразуем $k = 30$ в z-оценку:

Для $z \approx -7.08$, вероятность настолько мала, что её можно считать близкой к нулю. Таким образом:

2. От 30 до 48 студентов задержат работы ($30 \leq k \leq 48$)

Эта вероятность вычисляется как разность интегралов нормального распределения:

Переводим $k = 30$ и $k = 48$ в $z$-оценки:

• Для $k = 30$:

• Для $k = 48$:

Считаем вероятности:

• Для $z_{30} \approx -7.08$, вероятность $P(k < 30) \approx 0$ (очень мала).
• Для $z_{48} \approx -3.33$, из таблицы стандартного нормального распределения:

Разность даёт:

Итог:

1. Вероятность того, что ровно 30 студентов задержат представление контрольных работ:

2. Вероятность того, что от 30 до 48 студентов задержат работы: