Дан квадрат ABCD, O - точка пересечения диагоналей, ОМ - медиана треугольника АОВ. Известно, что ОМ=7,5. Найдите периметр квадрата ABCD.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Известия задачи: У нас есть квадрат ABCD, и точка O — это точка пересечения диагоналей квадрата. В квадратах диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, то есть O — центр квадрата.

2. Рассмотрим треугольник АОВ: Треугольник АОВ — это прямоугольный треугольник, так как диагонали квадрата перпендикулярны. В этом треугольнике точка O — это середина обеих диагоналей, следовательно, AO = BO.

3. Медиана в треугольнике: Медиана в треугольнике — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. В данном случае ОМ — медиана треугольника АОВ, и она делит его на два меньших треугольника, при этом отрезок ОМ является также средней линией в треугольнике.

4. Длина диагонали квадрата: Пусть длина стороны квадрата равна $a$. Тогда диагональ квадрата будет равна $d = a\sqrt{2}$, так как в квадрате диагональ и сторона связаны по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.

5. Медиана в треугольнике АОВ: В треугольнике АОВ медиана ОМ соединяет точку O с серединой стороны AB. Поскольку O — это центр квадрата, медиана ОМ будет равна половине длины диагонали квадрата. Таким образом, длина медианы $OМ = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

6. Используем данное условие: Из условия задачи известно, что медиана ОМ = 7,5. Следовательно, имеем:

   $$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 7,5$$

   Умножим обе части уравнения на 2:

   $$a\sqrt{2} = 15$$

   Теперь разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

   $$a = \frac{15}{\sqrt{2}} = 15 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 \times 0,7071 \approx 10,607$$

7. Периметр квадрата: Периметр квадрата равен $4a$, где $a$ — длина стороны квадрата. Подставим найденное значение $a$:

   $$P = 4 \times 10,607 \approx 42,428$$

Итак, периметр квадрата примерно равен 42,43.